学不明白的数学分析（四十四） 环球快播报

曲线积分的内容介绍完了之后呢……我们就来研究曲面积分！

【资料图】

曲面积分与曲线积分的内容很多也是大同小异，因为二者都属于性质分散对象为空间中的几何结构，都会受几何对象的性质影响。这二者之间的差异产生自曲线与曲面的几何性质的差异。

所以，我们在理解这部分内容的时候，可以结合之前的曲线积分的部分来进行。

那么，话不多说啦~

Chapter  Twelve  曲面积分

12.1  曲面的面积

我们在之前的多重积分部分介绍过了有关二维平面区域的面积的相关内容。在处理这一部分的问题时，我们引入了平面区域的特征函数，并且还介绍了有关Jordan测度的知识。但是，这毕竟不是比较一般的情形，更一般的情形时，曲面不只是铺展在二维平面空间，而是伸展在三维区域内。也就是说，平面在三维空间当中是“弯曲”的，在任意一点的法向量的三个直角坐标分量都不为0。我们所定义的曲面积分，一般而言就是在这样的曲面上定义的。

在曲线积分部分，我们定义了曲线积分（第一型曲线积分）之后，就直接给出了其计算公式，这是因为我们在多变量函数部分已经依据多变量函数的微分学的知识就曲线的微分几何给出了一些内容介绍，尤其是有关曲线的弧长与弧长参数部分，这对处理曲线积分是有重要意义的。

所以，在正式定义并介绍如何处理曲面积分之前，我们先来介绍曲面的面积与面积元素，以便我们开展后续的讨论。

回忆我们定义曲线的弧长的方式【学不明白的数学分析（二十七），采用的方法简单来说就是以直代曲做近似】，我们能否利用类似的方式定义曲面的面积呢？

下面的介绍会让你认识到，不加一些限制的情况下，这是不可能的：

既然这种方式一般不可行，那我们有两种考虑。一种是换一种定义方式；或者是沿用这种定义方式，但是加以一定的限制。比如，从上面的例子当中我们可以看到，如果选取的平面微元是曲面上某一点处的切平面的一小部分，这样的Riemann和就能够很好的反应曲面的面积的直观印象。

如果我们真的这么做，接下来需要考虑的，就是怎么表示这一定义。借用我们之前已经介绍过的基础微分几何的内容【学不明白的数学分析（三十五）】，我们想到可以采用在某点处的曲线和曲线的切向量张成平面的方式来获得想要的平面微元。利用向量外积的性质，我们有：

（如此表达可以看做是曲面在某点处的沿某两个方向的Taylor展开，具体内容可以参阅一些微分几何的教材~）

类比于其它的积分的定义，我们不做过多的叙述，直接给出定义如下：

设正则曲面有参数向量方程：

称：

为曲面的面积。

并记：

为曲面的面积元素，简称面元。

这一定义首先面临的问题是，从字面上来看，曲面的面积似乎与参数的选择相关。但实际上，曲面的面积应该取决于曲面本身的内蕴几何，不应该随参数的选取而有所不同。利用向量值函数的复合求导以及多重积分的换元公式，我们不难得到：

这说明参数的选择对曲面面积的结果没有影响。

其次，我们需要注明，一般来讲我们是希望曲面本身是关于参数的单射，这是为了避免曲面“自交”。但是，如果曲面的重点（发生自交的点）只是对应了参数域的一个零面积集，那么此定义依然适用。

基于这一定义，我们在之前介绍过的有关曲面的第一基本量在此就可以利用上：

Chapter  Twelve  曲面积分

12.2  第一型曲面积分

我们只给出定义：

设是一张可求面积的曲面片，是定义在其上的函数，取一分割将曲面片分成更小的曲面片：

定义分割的宽度为：

则当Riemann和：

的极限：

存在且有限时，称该值为函数沿曲面的第一型曲面积分，记作：

由上节的讨论，我们很容易写出：

（命题1）

但是仍然需要严格证明，留作思考吧~

如果曲面有显式表达：

就有：

如果是隐式曲面，积分表达式交给大家推导。（命题2）

（虽然很多时候，隐式曲面的积分表达式的应用意义不大。）

Chapter  Twelve  曲面积分

12.3  第二型曲面积分

与第一型曲线积分类似，第二型曲面积分也涉及到“定向”的问题。曲面的定向与曲线的定向的差异主要体现在二者几何特性的不同。描述曲线方向的参量是曲线的切向量，而决定曲面的伸展方向的量是曲面的法向量。因此，曲面的定向，我们更倾向于称之为——曲面的侧。

对于正则曲面：

由于：

在上处处成立，则在曲面上的任意一点都有确定的法向量。我们可以在：

其中选择一个定为曲面的正方向，当参数连续变化时，选定的法向量不会突然反转。这样，我们对曲面的方向就有了规定。

我们将曲面的正法线所指的一侧定义为曲面的正侧，相反的一面称之为负侧。凡是能明确区分正负两侧的曲面，都称之为双侧曲面。

不可定向的曲面的例子，最典型的就是Möbius带。

我们虽然已经阐明了正则曲面的定向问题，但是实际上，我们所处理的很多问题都涉及分段正则的曲面片拼接而成的曲面片。对于这样的曲面片，我们也希望能够进行有效处理。但是，显然，在拼接处，曲面不再有良好的可微性质。换句话说，就是曲面片在该处不是正则的。那么，我们就涉及到要逐片处理的问题。为了能够逐片处理曲面即在其上的积分，我们首先要对拼接后的曲面片的定向作以说明。

如果对于一片正则曲面片，一个人在曲面的正侧上沿边界上行走时，曲面片的内部都在此人的左侧，则称此时曲面的定向与曲面边界的定向是协调的。基于此定义，我们显然可以理解，如果我们定义正则曲面片的边界曲线也有类似于平面闭曲线的定向，那么协调性也满足符号的运算规则。（负负得正之类的。）

我们在介绍第二型曲线积分的时候，是以物理学中变力做功为实际背景来引入的。现在，我们来介绍另一个物理学问题——流体流量的计算。

空间中有一流量场，以流速标记：

如果我们规定流体穿过既定曲面的方式是从负侧到正侧，即大体来看，流体的流向是相对于曲面为正的，则单位时间内穿过该曲面的流量记为正；反之记为负。如果我们记曲面在某点处的单位法向量为：

则在单位时间内通过面元的流量为：

于是流体在单位时间内通过这一曲面的总流量为：

这样的积分，就是第二型曲面积分。

更一般的定义如下：

设是可定向的正则曲面，其单位法向量场为：

是定义在曲面上的向量值函数。若记：

则称：

为在有向曲面上的第二型曲面积分。

若记：

则第二型曲面积分也可记为：

又记：

则第二型曲面积分记作：

（表达式1）

（这种记法并非单纯的规定，而是有其内在合理性的。具体的原理可以用曲面面元的参数表达式说明。）

对于如何计算第二型曲面积分，我们有：

（命题3）

形式上十分容易理解，无非是对于每一分量都做了类似二重积分的换元处理。只不过，原本在二重积分换元中需要消除的有向面积的方向现在需要保留下来。

若有：

并且曲面有显示表达：

就有：

至此，曲面积分的基本内容就介绍完了~

思考：

证明命题1；

证明命题2；

了解Möbius带及其不可定向的原因；

解释表达式1的合理性；

证明命题3；

计算下列曲面的面积：

（1）

（2）

（3）

（4）

计算下列第一型曲面积分：

（1）

（2）

（3）

证明Poisson公式：

计算下列第二型曲面积分：

（1）

（2）

（3）

（4）

最後の最後に、ありがとうございました！

关键词： 数学分析 TWELVE 微分几何 JORDAN 二重积分 TAYLOR 三维空间 一般而言 简单来说 一般来讲 ありがとう 也就是说 不可能的 有所不同